Mengenal Vektor Bidang 2 Dimensi & Vektor Ruang 3 Dimensi | Matematika Kelas 10

Pada artikel ini, kamu akan belajar tentang konsep dasar vektor, meliputi pengertian vektor, vektor pada bidang dua dimensi, dan vektor dalam ruang tiga dimensi. Yuk, simak!

—

Di zaman yang serba digital ini, teknologi sudah semakin canggih. Banyak orang bisa menerima informasi dan belajar apa saja hanya dari gadget. Misalnya, kamu ingin mengetahui informasi mengenai petunjuk/arah jalan suatu tempat yang belum pernah kamu kunjungi. Kamu bisa gunakan sistem navigasi, yaitu GPS (Global Positioning System) dari HP-mu.

Nah, GPS ini yang nantinya akan menentukan letak lokasi yang ingin kamu tuju dengan bantuan sinyal satelit. Dalam waktu singkat, kamu sudah bisa deh menemukan arah lokasinya dengan tepat. Wah, keren banget nggak, sih?

Hmm, ngomong-ngomong masalah GPS, kamu tahu nggak nih, ada ilmu Matematika yang diterapkan dalam penentuan lokasi pada GPS, yaitu vektor. Kamu pasti sudah nggak asing lagi kan dengan istilah vektor. Yup! Di Fisika, kamu juga belajar materi vektor.

Sebenarnya, pembahasan vektor di Matematika maupun Fisika tidak jauh berbeda, nih. Nah, kali ini, kita akan membahas tentang konsep dasar vektor, meliputi pengertian vektor, vektor pada bidang dua dimensi, dan vektor dalam ruang tiga dimensi. Baca sampai akhir, ya!

Pengertian Vektor

Ada yang masih ingat, vektor itu apa? Vektor adalah suatu besaran. Dalam Fisika, kita mengenal dua jenis besaran, yaitu besaran skalar dan besaran vektor. Bedanya, besaran skalar hanya memiliki nilai saja, sedangkan besaran vektor memiliki nilai dan juga arah.

Contoh besaran vektor, antara lain perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya, medan listrik, medan magnet, dan masih banyak lagi. Sekarang, coba deh, kamu perhatikan ilustrasi gambar berikut ini!

Ratu berjalan dari Barat ke arah Timur (titik A ke titik B) sejauh 10 m. Lalu, ia berbalik arah menuju Barat lagi (titik B ke titik A) sejauh 10 m. Dari sini, kita bisa tahu kalau jarak yang ditempuh Ratu adalah:

AB + BA = 10 m + 10 m = 20 m

Kemudian, kita lihat besar perpindahannya. Perpindahan dapat diukur dari posisi awal ke posisi akhir. Saat Ratu berbalik arah dan berjalan sejauh 10 m, berarti posisi akhir Ratu ada di titik awal, yaitu titik A. Nah, karena posisi awal Ratu sama dengan posisi akhirnya. Artinya, Ratu tidak mengalami perpindahan (perpindahannya nol).

Jarak adalah panjang lintasan yang ditempuh suatu benda yang bergerak. Jadi, karena Ratu berjalan berbalik arah ke posisi semula, maka jarak yang ditempuh Ratu yaitu jumlah dari titik A ke B ditambah jarak dari titik B ke A. Oleh sebab itu, jarak tidak dipengaruhi arah pergerakan benda. Kenapa? Karena jarak merupakan contoh besaran skalar.

Lain halnya dengan perpindahan. Perpindahan merupakan perubahan kedudukan atau posisi suatu benda, sehingga memiliki arah. Ratu yang awalnya berjalan ke Timur sejauh 10 m, kemudian berpindah ke arah Barat sejauh 10 m juga. Nah, saat Ratu berjalan ke Barat, arahnya berlawanan dengan arah semula. Arah yang berlawanan dari arah semula ini akan bernilai negatif. Oleh karena itu, perpindahannya adalah:

AB – BA = 10 m – 10 m = 0 m

Nah, karena perpindahan memiliki nilai dan arah, maka perpindahan Ratu itu termasuk besaran vektor.

Dari ilustrasi di atas, semoga kamu jadi lebih paham bedanya besaran vektor dengan skalar ya. Sekarang, kita lanjut ke pembahasan berikutnya, yuk!

Secara geometris, suatu vektor digambarkan sebagai ruas garis berarah. Vektor dapat dinotasikan dengan huruf kecil bertanda panah di atasnya (, dst) atau huruf kecil bercetak tebal (a, b, c, dst).

Baca juga: Cara Menyusun Persamaan dari Grafik Fungsi Kuadrat

Nah, pada gambar di bawah ini, terdapat ruas garis  yang kita misalkan sebagai vektor . Vektor merupakan vektor yang memiliki pangkal di titik A dan ujung di titik B. Jika kita tulis vektor dalam bentuk matriks (vektor kolom), maka hasilnya akan seperti berikut:

Kamu masih ingat kan kalau vektor merupakan besaran yang punya nilai dan arah. Nilai vektor bergantung pada arah tiap-tiap komponennya. Komponen x akan bernilai positif jika arahnya ke kanan dan bernilai negatif jika arahnya ke kiri. Sementara itu, komponen y akan bernilai positif jika arahnya ke atas dan bernilai negatif jika arahnya ke bawah. Bingung nggak nih? Simak contoh soal berikut ini deh!

Misalkan, terdapat sebuah vektor  sebagai berikut.

Untuk menentukan nilai vektor , kita bisa lihat pergeseran arahnya. Pertama, untuk mencari nilai komponen x, kita lihat apakah vektor bergeser ke arah kiri atau kanan. Ternyata, vektor  bergeser sejauh 4 satuan ke kanan, berarti nilai komponen x = 4.

Lalu, untuk mencari nilai komponen y, kita lihat pergeseran vektor ke atas atau ke bawah. Kalau kamu lihat, vektor bergeser ke atas sejauh 4 satuan, sehingga nilai komponen y = 4. Sehingga, vektor  dapat dinyatakan dalam bentuk matriks seperti berikut:

Paham ya maksudnya? Nah, dalam penerapannya, vektor selalu menempati bidang atau ruang. Kita akan bahas satu per satu secara rinci. Let’s go!

Vektor pada Bidang Dua Dimensi

Vektor pada bidang bisa disebut juga sebagai vektor dua dimensi. Pada vektor dua dimensi, kita akan mengenal yang namanya vektor posisi.

Apa itu vektor posisi? Vektor Posisi adalah vektor yang berpangkal di pusat koordinat (0,0) dan berujung di suatu titik (x,y).

Nah, kalau kamu perhatikan gambar di bawah, terdapat dua buah ruas garis, yaitu  dan . Kita misalkan ruas garis sebagai vektor dan ruas garis sebagai vektor . Vektor termasuk vektor posisi karena memiliki pangkal di pusat koordinat O (0,0) dan ujung di titik P (4,2). Sama halnya dengan vektor  yang juga merupakan vektor posisi karena berpangkal di titik O (0,0) dan ujung di titik R (2,4).

Paham ya? Oh iya, titik Q pada koordinat kartesius di atas juga bisa menjadi vektor posisi lho, jika kamu tarik garis lurus dari pusat koordinat ke titik Q tersebut. Nilai untuk vektor ini bisa kita namakan vektor q dengan koordinat titik Q (5,5). Sehingga, dapat kita tuliskan vektor-vektor posisinya, yaitu:

                                                                 , , 

Baca juga: Bentuk-Bentuk Persamaan Logaritma dan Cara Menyelesaikannya

Nah, sekarang coba kamu perhatikan gambar di bawah ini!

Pada koordinat kartesius tersebut, terdapat vektor: 

(ke kiri 10 satuan, ke atas 2 satuan)

Misalkan,  dan , sehingga dan merupakan vektor posisi bernilai  dan .

Jika kita menghitung nilai , maka akan diperoleh:

Artinya, vektor dapat diperoleh dari vektor posisi titik B dikurangi vektor posisi titik A atau dapat ditulis sebagai berikut:

Pembahasan:

1. Diketahui: B (-4,1) dan   

Ditanya: Koordinat titik A?

Jawab:

Koordinat titik A akan bernilai sama dengan vektor posisi , jadi koordinat titik A adalah (2, 6).

2. Diketahui: P (2,-1), Q (5,3), dan  = PQ.

Ditanya: Koordinat titik R?

Jawab:

Ingat, vektor posisi  akan sama nilainya dengan koordinat titik P dan vektor posisi  akan sama nilainya dengan koordinat titik Q, sehingga:

Koordinat titik R akan sama nilainya dengan vektor posisi , jadi R (3,4).

Paham ya sampai sini. Selanjutnya, kita akan menentukan panjang vektor pada bidang dua dimensi.

Misalkan, merupakan vektor pada ruas garis . Vektor dapat dinyatakan dengan . Pada gambar di bawah, OPR membentuk segitiga siku-siku dengan sisi alas x, sisi tegak y, dan sisi miring . Oleh karena itu, panjang vektor (dinotasikan dengan ) dapat dicari menggunakan teorema Pythagoras, yaitu:

Sampai sini, mulai paham kan mengenai vektor di matematika kelas 10? Coba deh, pahami lebih dalam lagi materi ini dengan mengerjakan tes di bank soal Ruangguru! Ada ribuan soal yang bisa kamu kerjakan lengkap dengan penjelasannya yang mudah kamu pahami! Coba cek langsung dengan klik tombol di bawah ini ya!

Contoh:

Diketahui vektor  dan .

Tentukan  dan !

Pembahasan:

a. satuan panjang.

b. satuan panjang.

Sejauh ini aman, ya! Kalau gitu, kita lanjut ke pembahasan berikutnya, yaitu vektor dalam ruang (dimensi tiga).

Baca juga: Menyelesaikan Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Mutlak

Vektor dalam Ruang Tiga Dimensi

Agar kamu bisa lebih memahami konsep vektor dalam ruang, coba perhatikan sistem koordinat kartesius dalam dimensi tiga berikut ini.

Vektor dalam ruang atau vektor tiga dimensi merupakan vektor yang memiliki tiga buah sumbu, yaitu x, y, dan z. Ketiga sumbu tersebut saling tegak lurus dan berpotongan di satu titik yang akan menjadi titik pangkal vektor tersebut. Penulisan vektor tiga dimensi dalam bentuk matriks (vektor kolom) sebenarnya tidak jauh berbeda dengan vektor dua dimensi. Hanya saja, pada vektor tiga dimensi, terdapat tambahan satu komponen, yaitu komponen z.

Misalnya, pada gambar di atas, vektor  terdiri dari tiga titik koordinat, yaitu x = 3, y = 4, dan z = 1, sehingga:

Panjang vektor dalam ruang juga dapat ditentukan dengan cara yang sama, yaitu:

Contoh:

Diketahui vektor , tentukan  !

Pembahasan:

satuan panjang.

Oke, materi mengenai konsep dasar vektor cukup sampai sini, nih. Untuk pembahasan vektor selanjutnya, akan dibahas di lain waktu. Jadi, pantengin terus Blog Ruangguru, ya! Kalau kamu merasa kurang paham dengan materi ini, kamu bisa coba tonton materi ini lewat video belajar beranimasi di ruangbelajar. Para Master Teacher terbaik akan mengajarkan materi vektor dengan cara dan gaya yang asik dan mudah dimengerti. Buruan download aplikasinya dan gabung sekarang juga!

Referensi:

Kurnia, N., Sharma, S. N., Saputra, S. E. (2016). Jelajak Matematika SMA Kelas X Peminatan MIPA. Jakarta: Yudhistira.

Artikel ini telah diperbarui pada 27 Januari 2022.