Hubungan Antar Himpunan Matematika & Contohnya | Matematika Kelas 7

Pada artikel Matematika kelas VII kali ini, kamu akan mempelajari tentang macam-macam hubungan antar himpunan dalam Matematika. Ada himpunan bagian, himpunan kuasa, himpunan yang sama, dan himpunan ekuivalen.

—

Hai! Siapa di antara kamu yang ikut kegiatan ekstrakurikuler di sekolahnya, nih? Bagi kamu yang aktif, mungkin hanya mengikuti satu kegiatan ekstrakurikuler saja tidak akan cukup ya untuk mengisi waktu luang kamu saat pulang sekolah atau akhir pekan. Sama kayak Rogu, Gita, dan Iqbal, nih! Saking aktifnya, mereka sampai ikut lebih dari satu kegiatan ekstrakurikuler, lho! Untungnya, jadwal latihan ekstrakurikuler Rogu, Gita, dan Iqbal nggak bentrok. Coba kalau iya, bisa-bisa mereka jadi seperti amuba deh yang harus membelah diri.

Kebetulan, Rogu dan Gita sama-sama mengikuti dua kegiatan ekstrakurikuler. Rogu mengikuti futsal dan pencak silat, sedangkan Gita mengikuti PMR dan paskibra. Sementara itu, Iqbal mengikuti tiga kegiatan ekstrakurikuler, yaitu futsal, paskibra, dan basket. Hmm, kurang aktif apa coba si Iqbal ini. Kalau kamu perhatikan, ternyata Iqbal mengikuti ekstrakurikuler yang sama dengan Rogu dan Gita, yaitu futsal dan paskibra.

Baca Juga: Yuk, Pahami Pengertian dan Contoh Bilangan Bulat

Eh, tapi kamu tahu nggak sih, masalah ekstrakurikuler di atas, ternyata bisa dikaitkan dengan materi himpunan yang mau kita bahas kali ini, lho. Kok bisa? Coba kamu ingat kembali materi himpunan yang sudah kamu pelajari sebelumnya. Berdasarkan definisinya, himpunan merupakan kumpulan objek yang dapat didefinisikan dengan jelas dan terukur. Sama halnya kayak ekstrakurikuler, kalau ekstrakurikuler ibarat himpunan, maka anggota dari ekstrakurikuler itu merupakan sekumpulan objeknya yang dapat kita hitung dan juga jelas bentuknya.

Nah, kalau masalah Rogu, Gita, dan Iqbal tadi kita ilustrasikan dengan gambar, maka bentuknya akan seperti ini.

Berdasarkan gambar di atas, dapat kamu perhatikan kalau Rogu berada pada lingkaran A dan B yang menyatakan kalau ia tergabung dalam kumpulan atau himpunan siswa ekstrakurikuler futsal dan pencak silat. Begitupun dengan Gita, ia berada pada lingkaran C dan D yang menyatakan kalau ia tergabung dalam himpunan siswa ekstrakurikuler PMR dan paskibra. Sementara itu, Iqbal berada pada tiga lingkaran, yaitu A, D, dan E yang menyatakan kalau ia tergabung dalam tiga himpunan, yaitu himpunan siswa ekstrakurikuler futsal, paskibra, dan basket.

Nah, gambar di atas juga menandakan kalau antara himpunan yang satu dengan himpunan yang lainnya dapat terjadi suatu hubungan. Hubungan apakah itu? Untuk penjelasan lebih rincinya bisa kamu baca pada artikel di bawah ini. Let’s check this out!

Terdapat beberapa istilah yang dipakai dalam menjelaskan hubungan antar himpunan, yaitu:

1. Himpunan Bagian 

Himpunan bagian atau subset adalah himpunan yang semua anggotanya terdapat di dalam himpunan lainnya. Himpunan bagian biasanya disimbolkan dengan “⊂” yang artinya “himpunan bagian dari”, sedangkan simbol “⊄” memiliki arti “bukan himpunan bagian dari”. Nah, supaya kamu nggak bingung, yuk, perhatikan contoh di bawah ini.

Contoh:

Misalkan, terdapat tiga buah himpunan, yaitu himpunan A, himpunan B, dan himpunan C dengan masing-masing anggotanya adalah sebagai berikut:

A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4, 6}, C = {8, 9, 10}

Sekarang, kita coba bahas bersama-sama, ya. Ternyata, setiap anggota dari himpunan A merupakan anggota dari himpunan B juga, lho. Oleh karena itu, dapat kita katakan himpunan A merupakan himpunan bagian atau subset dari himpunan B. Kita bisa menulisnya dengan simbol (A ⊂ B). Sementara itu, karena semua anggota himpunan A merupakan anggota dari himpunan B juga, jadi himpunan B merupakan super himpunan atau superset dari himpunan A, bisa kita tulis dengan simbol (B ⊃ A).

Lalu, bagaimana dengan himpunan C, nih? Yap, benar! Karena setiap anggota dari himpunan C tidak terdapat di dalam himpunan A maupun himpunan B, maka dapat dikatakan himpunan C bukan merupakan himpunan bagian dari himpunan A (C ⊄ A) maupun himpunan B (C ⊄ B). Jika ketiga himpunan itu kita sajikan ke dalam gambar, maka akan seperti ini:

Bagaimana, paham sampai di sini?

Baca Juga: Mengenal Operasi Hitung pada Pecahan, Apa Saja Ya?

Oke, selanjutnya, perlu kamu ketahui juga, nih. Apabila terdapat suatu himpunan, maka kita dapat menghitung banyak kemungkinan himpunan bagian yang dapat terbentuk. Bagaimana caranya? Caranya, dapat menggunakan rumus 2ⁿ, dengan n adalah banyaknya anggota himpunan. Bingung? Tenang, nggak perlu khawatir! Langsung saja kita simak bersama-sama contoh soal di bawah ini, ya.

Contoh:

Misalkan, terdapat sebuah himpunan A yang terdiri dari tiga buah anggota, yaitu a, b, dan c sebagai berikut:

A = {a,b,c}

Maka, banyaknya kemungkinan-kemungkinan himpunan bagian yang dapat terbentuk dari himpunan A adalah = 2³ = 8 buah. Kemungkinan-kemungkinan himpunan bagian tersebut terdiri dari { }, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, dan {a,b,c}.

Selain dengan menggunakan rumus di atas, kita juga dapat menggunakan cara lain untuk mencari banyak kemungkinan himpunan bagian dari suatu himpunan lho, yaitu dengan menggunakan segitiga Pascal. Apa itu segitiga Pascal? Segitiga Pascal adalah pola bilangan yang membentuk bangun segitiga, diawali dan diakhiri dengan angka satu, serta bilangan-bilangan selain angka satu itu diperoleh dari penjumlahan dua bilangan yang terletak di atasnya dan saling berdekatan. Wuaduh! Pusing, kan? Daripada pusing-pusing, cus, langsung simak gambar berikut!

Mau kamu pakai cara pertama atau cara kedua, hasilnya akan sama saja, nih. Jadi, pilih saja cara yang menurutmu lebih mudah, ya.

2. Himpunan Kuasa

Selanjutnya adalah himpunan kuasa. Himpunan kuasa atau power set adalah himpunan yang seluruh anggotanya merupakan kumpulan dari himpunan-himpunan bagian. Misalnya, kita ambil contoh himpunan kuasa dari A, maka dapat ditulis dengan notasi P(A) dengan anggota-anggotanya merupakan himpunan bagian dari himpunan A. Banyak anggota himpunan kuasa dapat dihitung menggunakan rumus n(P(A))= 2^n(A), dengan n(A) adalah banyak anggota dari himpunan A. Gimana, bingung nggak? Kalau bingung, kita perhatikan contoh soal di bawah ini dulu, yuk.

Contoh:

Misalkan, terdapat suatu himpunan A yang anggotanya merupakan bilangan-bilangan ganjil ≤ 5. Maka, banyak anggota A adalah sebanyak 3 buah, yaitu A = {1, 3, 5}. P(A) merupakan himpunan kuasa dari A dengan semua anggotanya merupakan himpunan bagian dari A. Jadi, banyak anggota P(A) adalah n(P(A)) = 2^n(A) = 2³ = 8, yang terdiri dari { }, {1}, {3}, {5}, {1, 3}, {1, 5}, {3, 5}, {1, 3, 5}.

Baca Juga: Begini Cara Menyajikan Data pada Tabel dan Diagram!

3. Himpunan yang Sama

Dua buah himpunan dikatakan sama apabila kedua himpunan tersebut memiliki anggota yang sama walaupun urutannya dapat berbeda.

Contoh:

Misalkan, terdapat dua buah himpunan, yaitu himpunan A dan himpunan B dengan masing-masing anggota sebagai berikut:

A = {a, s, r, i} dan B = {r, i, a, s}

Nah, sekarang, coba kamu perhatikan! Himpunan A ternyata memiliki anggota-anggota yang sama dengan himpunan B, yaitu a, s, r, dan i. Meskipun urutan anggota dari himpunan B berbeda dengan himpunan A, tapi kedua himpunan memiliki anggota yang sama. Jadi, dapat dikatakan himpunan A sama dengan himpunan B.

4. Himpunan yang Ekuivalen

Oke, kita masuk ke materi terakhir untuk pembahasan kali ini, ya. Terakhir adalah himpunan yang ekuivalen. Dua buah himpunan dikatakan ekuivalen apabila banyak anggota dari kedua himpunan bernilai sama.

Contoh:

Misalkan, terdapat dua buah himpunan, yaitu himpunan A dan himpunan B dengan masing-masing anggota sebagai berikut:

A = {1, 2, 3, 4, 5} dan B = {a, b, c, d, e}

Bisa kamu lihat dari kedua himpunan di atas, himpunan A memiliki jumlah anggota, yaitu n(A) = 5 dan himpunan B memiliki jumlah anggota, yaitu n(B) = 5. Jadi, (n(A) = n(B) = 5). Oleh karena itu, dapat dikatakan kalau himpunan A ekuivalen dengan himpunan B.

Bagaimana, sejauh ini kamu paham, ya? Nah, di bawah ini ada latihan soal yang bisa kamu kerjakan, nih. Mudah, kok! Nanti, jangan lupa tulis jawabanmu di kolom komentar, ya. Ditunggu, lho!

Baca Juga: Apa Saja Bagian-Bagian dari Properti Sudut?

Wah, sekarang, kamu sudah tahu deh apa saja macam-macam hubungan antarhimpunan di dalam Matematika itu. Ternyata, nggak sesulit yang kamu kira, ya? Kalau berdasarkan cerita Rogu, Gita, dan Iqbal sebelumnya, masalah hubungan antarhimpunan ini juga ada di sekitar, ya.

Nah, bagi kamu yang masih belum paham dengan materi ini, jangan khawatir! Kamu bisa gunakan aplikasi ruangbelajar untuk pahami materi pelajaran menjadi lebih mudah lewat video animasi yang menarik bersama Master Teacher yang nggak kalah asik. Penasaran? Yuk, gabung sekarang!

Referensi:

As’ari A. R., dkk. (2017). Matematika SMP/MTs Kelas VII Semester I. Jakarta: Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Kemendikbud.

Artikel ini telah diperbarui pada 7 Oktober 2022.